2010年7月25日日曜日

何故数列?

数列に嫌悪を示す友人がいる。
こんなもの必要ないだとか、意味が分からないなどといってまともに考えようとしていないのだ。

数列は大事な理論であり、いろいろな場面で使うことができる。
だが意味不明だの、必要性を感じないだのといって毛嫌いする人がおおいのも事実だ。

そもそも何故数列を考えるかということが大事で、単にソコにあるから勉強するというのでは面白くない。
数列は、社会生活の中でもいろいろな場面に出てくるが、特に数学を成立させる基礎部門である。

20世紀初頭にそれまで発展してきた微積分学自体を集合論基礎として見直そうという機運が高まった。
その敵、数や関数の連続、面積、体積、などを正確に定義する必要があった。
人間の直感的理解で把握できていたものは明解ではなく、数学的取扱が困難であった。
それらのうちの【連続】という部分に数列は深くかかわってくる。

世の中で連続しているものはほとんどなく、実際に明確に観察したものもいない。しかし、連続を定義しようとしたため苦労する。
例えば数の連続とはある広がりの中の状況を言わなくてはならないのだが、実際はある1つの点での連続という訳のわからないものを定義する。
簡単に言うと、ある点で連続というのは、その点の近傍にいくら小さな近傍をとってもその近傍に属する点を取れるということなのである。
その近傍を次々に小さくしていくとある点に限りなく近づく点列ができる。
また、点間の距離を加えていけばある点までの長さが得られる。

しかし『次々と点がとれるか』や『ある一点に近づく保証がどこにもない』、『本当に距離の和がある点までの長さになるのか』という問題が発生する。
そのことに関連する問題が数学の分野の問題に出題されることになる。

連続の定義の種類は複数存在し、調べてみると面白い。

はじめから毛嫌いするのではなく、その背景や周りの事柄を調べてみると意外な発見が多く、とっつきやすい場合もある。
この時代の利点である『検索力』を大いに使い、チャレンジしていくときっと充実するのではないだろうか。

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